Il a étudié au Reykjavik College of Music et a obtenu en 1983 un diplôme de performance en saxophone classique. Il poursuit ses études à l'université de l'Indiana, aux États-Unis, où il obtient une licence en 1986 et une maîtrise en 1988, à la fois en jazz et en saxophone classique. À l'Indiana, il a étudié avec David Baker, gourou de l'enseignement du jazz, et Eugene Rousseau, saxophoniste classique de premier plan. Sigurður a poursuivi ses études avec George Coleman à New York pendant l'hiver 1988-89.

Après son retour au pays en 1989, Sigurður est devenu l'un des musiciens de jazz les plus actifs d'Islande, se produisant fréquemment dans son pays et à l'étranger. Il a enregistré près de 30 CD avec une grande variété de musique de jazz, allant de ses propres compositions et des standards de jazz à la musique expérimentale et aux improvisations en solo avec l'Orchestre symphonique islandais et le Norrbotten Big Band suédois. Sigurður est le moteur et le chef d'orchestre du Reykjavik Big Band et l'un des membres fondateurs de l'Icelandic Saxophone Quartet. Il s'est produit dans tous les pays scandinaves, aux États-Unis, au Canada, au Japon, en Chine, en Thaïlande et dans plusieurs pays européens.

Sigurður a été très impliqué et influent dans l'éducation musicale en Islande. Depuis 1989, il dirige le département de jazz de la F.I.H School of Music, la principale école de jazz d'Islande. Il a donné de nombreux cours, stages et ateliers en Islande et à l'étranger, et a beaucoup travaillé pour le ministère islandais de l'éducation sur le programme des écoles de musique islandaises. En outre, il a contribué à promouvoir la musique de jazz en Islande en organisant des séries de concerts et des festivals. Il est membre du conseil d'administration de STEF, l'association islandaise des droits des compositeurs.

Sigurður Flosason a remporté le premier prix du concours de composition américain Hoagy Carmichael en 1987 et a été finaliste du concours Europe Jazz en 1990. Il a été nommé pour le prix de la musique du Conseil nordique en 2000 et 2003 et a remporté six fois les prix de la musique islandaise. Il a également été nommé aux prix de la musique danoise en 2011 pour un enregistrement avec la chanteuse danoise Cathrine Legardh. Sigurður a été artiste de la ville de Gardabaer, en Islande, en 2005.

Ces dernières années, Sigurður est devenu de plus en plus actif au Danemark. Il a publié quatre CD sur le label danois Storyville : "Land&Sky" (2011), un double CD et une coopération en matière de composition avec la chanteuse Cathrine Legardh. "Nightfall" (2012) et "Daybreak" (2015), des CD de standards lyriques avec l'organiste Hammond Kjeld Lauritsen, Jacob Fischer à la guitare et Kristian Leth à la batterie. Enfin, "The Eleventh Hour" (2013), un CD de ses propres compositions avec son Copenhagen Quartet composé de Nikolaj Hess au piano, Lennart Ginman à la basse et Morten Lund à la batterie.

Sigurður Flosason est un artiste de Yamaha.